以兩自由度機器人為例，介紹在關節空間和在直角坐標空間進行軌跡規劃的基本原理。如圖5-3所示，要求機器人從A 點運動到B 點。機器人在A 點時的關節角為α=20°, β=30°。假設已算出機器人達到B 點時的關節角是α=40°,β=80°,同時已知機器人兩個關 節運動的Z大速率均為10°/s 。機器人從A 點運動到B 點的一種方法是使所有關節都以其Z大角速度運動，這就是說，機器人下方的連桿用2s 即可完成運動，而如圖5-3所示，上方的連桿還需 再運動3s 。 圖5-3中畫出了操作臂末端的軌跡，可 見其路徑是不規則的，操作臂末端走過的距離也是 不均勻的。

將機器人操作臂兩個關節的運動用一個公共因子做歸一化處理，使其運動范圍較小的關節運動成 比例地減慢，這樣可使得兩個關節能夠同步開始和 同步結束運動。這時兩個關節以不同速度一起連續運動，即α每秒改變4°,而β每秒改變10°。從 圖5-4可以看出，得出的軌跡與前面不同，該運動軌 跡的各部分比以前更加均衡，但是所得路徑仍然是不規則的。這兩個例子都是在關節空間中 進行規劃的，所需的計算僅是運動終點的關節量，而第二個例子中還進行了關節速率的歸一 化處理。

現在假設希望機器人的末端執行器沿A 點 到B 點之間的一條已知直線路徑運動。Z簡 單的解決方法是先在A 點 和B 點之間畫一直線，再將這條線等分為幾部分，例如分為5 份，然后如圖5-5所示計算出各點所需要的α和β值，這一過程稱為在A 點 和B 點之間插 值。可以看出，這時路徑是一條直線，而關節角并非均勻變化。雖然得到的運動是一條已知 的直線軌跡，但需要計算直線上每點的關節量。顯然，如果路徑分割的部分太少，將不能保 證機器人在每一段內嚴格地沿直線運動。為獲得更好的沿循精度，就需要對路徑進行更多的 分割，也就需要計算更多的關節點。由于機器人軌跡的所有運動段都是基于直角坐標進行計 算的，因此它是直角坐標空間的軌跡。

在前面的例子中均假設機器人的驅動裝置能夠提供足夠大的功率來滿足關節所需的加速 和減速，如前面假設操作臂在路徑D一段運動的一開始就可立刻加速到所需的期望速度。如 果這一點不成立，機器人所沿循的將是一條不同于前面所設想的軌跡，即在加速到期望速度 之前的軌跡將稍稍落后于設想的軌跡。為了改進這一狀況，可對路徑進行不同方法的分段， 即操作臂開始加速運動時的路徑分段較小，隨后使其以恒定速度運動，而在接近 B 點時再 在較小的分段上減速，如圖5-6所示。當然對于路徑上的每一點仍須求解機器人的逆運動學 方程，這與前面幾種情況類似。如在該例中，不是將直線段AB 等分，而是在開始時基于方程(172)at² 進行劃分，且到具到達所需要的運動 速度時為止，末端運動則依據減速過程類似地進行 劃分。

還有一種情況是軌跡規劃的路徑并非直線，而 是某個期望路徑(例如二次曲線),這時需要基于 期望路徑計算出每一段的坐標，并進而計算相應的 關節量才能實現沿循期望路徑運動。至此只考慮了 機器人在 A 、B 兩點間的運動，而在多數情況下， 可能要求機器人順序通過許多點。下面進一步討論 多點間的軌跡規劃，并Z終實現連續運動。 圖5-6具有加速和減速段的軌跡規劃 如圖5-7所示，假設機器人從A 點經過B 點運 動到C 點。一種方法是從A 向B 先加速，再勻速，接近B 時減速并在到達B 時停止，然后 由 B 到C 重復這一個過程。這一停一走的不平穩運動包含了不必要的停止動作。一種可行 方法是將B 點兩邊的運動進行平滑過渡。機器人先抵達B 點(如果必要的話可以減速),然 后沿著平滑過渡的路徑重新加速，Z終抵達并停在C 點。平滑過渡的路徑使機器人的運動 更加平穩，降低了機器人的應力水平，并且減少了能量消耗。如果機器人的運動由許多段組 成，所有的中間運動段都可以采用過渡的方式平滑連接在一起。但需要注意由于采用了平滑 過渡曲線，機器人經過的可能不是原來的B 點而是B'點[如圖5-7(a) 所示]。如果要求機 器人準確經過B 點，可事先設定一個不同的B"點，使得平滑過渡曲線正好經過B 點[如圖 5-7(b) 所示]。另一種方法如圖5-8所示，在B 點前后各加過渡點D 和E, 使 得B 點落在 DE 連線上，確保機器人能夠經過 B 點 。